均值不等式求極值-2025國家公務(wù)員考試行測解題技巧

　　極值問題是行測數(shù)量關(guān)系中較為常見的一類問題，其中均值不等式求極值，大家在學(xué)生時(shí)代接觸過，但現(xiàn)在可能感覺既陌生又熟悉，印象已經(jīng)并不深刻了。今天整理了有關(guān)均值不等式求極值的知識(shí)點(diǎn)，為大家答疑解惑。

　　一、概念

　　若a，b是實(shí)數(shù)，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時(shí)候取得。

　　二、推論

　　和定差小積最大，當(dāng)正實(shí)數(shù)a、b的和為定值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，a與b的乘積可取到最大值。

　　三、應(yīng)用

　　【例1】某商品的進(jìn)貨單價(jià)為80元，銷售單價(jià)為100元，每天可售出120件。已知銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售出20件。若要實(shí)現(xiàn)該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價(jià)應(yīng)降低的金額是：

　　A.5元

　　B.6元

　　C.7元

　　D.8元

　　答案：C

　　【解析】設(shè)應(yīng)降低x元，總利潤為y元，則降低后的銷售單價(jià)為（100-x）元，銷量為（120+20x）件，進(jìn)貨單價(jià)為80元，則總利潤y=（100-x-80）×（120+20x），將其化簡成函數(shù)式為，根據(jù)一元二次函數(shù)圖像性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，y最大。故本題選C。

　　【例2】某類商品按質(zhì)量分為8個(gè)檔次，最低檔次商品每件可獲利8元，每提高一個(gè)檔次，則每件商品的利潤增加2元。最低檔次商品每天可產(chǎn)出60件，每提高一個(gè)檔次，則日減少5件。若只生產(chǎn)其中某一檔次的商品，則每天能獲得的最大利潤是( )元。

　　A.620

　　B.630

　　C.640

　　D.650

　　答案：C

　　【解析】設(shè)提高x檔，則每件產(chǎn)品的利潤增加2x元，日產(chǎn)量減少5x件，總利潤為y元，每天獲得的利潤為y=（8+2x）×（60-5x）=10×（4+x）×（12-x）元，因?yàn)椋?+x）+（12-x）=16是定值，根據(jù)均值不等式原理，故當(dāng)且僅當(dāng)4+x=12-x時(shí)，即x=4時(shí)，（4+x）×（12-x）的值最大，即可獲得最大利潤，為10×（4+4）×（12-4）=640元。故本題選C。